피보나치 수열의 일반항, 그리고 황금비
nth Term of Fibonacci Numbers and Golden Ratio
※ 아래의 내용은 수학 수업 내용을 정리한 것입니다.
※ 식을 나타내기 위해 사용한 (1), (2) 등은 같은 풀이 내에서만 사용됩니다.
※ (1), (2) 등 앞의 -는 빼기의 의미가 아닙니다.
■ 피보나치 수열이란?
피보나치 수열은 레오나르도 피보나치가 토끼 수의 증가에 대해 이야기하면서 피보나치 수가 처음 유럽에 등장하게 됩니다. 피보나치 수열은 피보나치 수를 나열한 수열입니다. 아래와 같은 점화식으로 정의됩니다.
■ 피보나치 수열과 황금비
피보나치 수열의 각 항들은 항의 수가 충분히 커졌을 때, 항들 사이의 비율이 약 1.618.. 즉 황금비에 수렴합니다. 실제로 그 값이 나오는지 한번 구해봅시다.
■ 1번 풀이법
먼저 두 항들 사이의 비를 x라고 둡시다.
그리고 피보나치 수열을 a_n+1로 나눠줍니다.
이렇게 얻은 (1)식은 x로 표현할 수 있게 됩니다. x로 표현한 (1)식을 (2)식이라고 하겠습니다.
(2) 방정식을 풀어주면 황금비를 얻게 됩니다. (황금비는 φ로 나타냅니다.)
■ 2번 풀이법
이 외에도 아래와 같은 방법으로 풀이할 수 있습니다.
피보나치 수열을 위와 같은 꼴로 만들어줍니다. 아래의 (1)식을 전개해서 정리해주면 α와 β값의 합과 곱을 알 수 있게 됩니다.
(2)식을 기존의 식과 비교해보면 α+β=1, αβ=-1 이라는 것을 알 수 있습니다. 이를 근과 계수의 관계를 이용하면 α와 β가 해인 방정식을 만들 수 있습니다.
(부호동순)
부호동순은 두 부호가 순서대로 놓여 있음을 의미합니다. 참고로 (1)식은 피보나치 수열의 일반항을 구하는 데에 중요하게 사용됩니다. 아래부터는 일반항을 구해보겠습니다.
■ 피보나치 수열의 일반항
황금비 구하기의 2번 풀이법의 (1)식을 가져와서, (1)식 중 β를 제외한 일부를 (2)식이라고 하겠습니다.
이 때 (2)식은 (1)식에 n-1을 대입한 것과 같습니다. 따라서 (2)식은 아래와 같아집니다.
이렇게 얻은 (2)' 식 역시 같은 방식으로 n의 자리에 n-2, n-3, ... 순서대로 해서 1이 될때까지 대입해 나갑니다. (n=n-1은 원래 수학적으로 올바른 표현이 아니며, 서로 다른 의미로 쓰였습니다.)
그리고 a1 = a2 = 1을 대입해주고, 2번 풀이법에서 구한 α+β=1을 이용해 식을 정리해줍니다. 그러면 정리된 (2)번 식을 다시 (1)번 식에 대입해줍니다. 이렇게 해서 아래와 같은 식이 완성됩니다.
이제 점화식이 다 정리되었으니 n을 1부터 n까지 대입해준 식들을 모두 더하는 방식을 이용해서 일반항을 구해봅시다.
그런데 문제가 있습니다. 일반적인 경우에는 항에 계수가 곱해져있지 않아서 그냥 모두 소거되었지만 이번에는 α가 각각 다른 차수만큼 곱해져 있어서 소거되지 않습니다. 이를 정리하기 위해 적당한 차수의 α를 곱해줘서 소거될 수 있게 해줍니다. (같은 색으로 표시한 항은 소거되는 항입니다.)
이렇게 얻어진 식의 우변은 첫 항이 β^(n+1)이고 공비가 α/β이면서 항의 수가 n+1개인 등비수열입니다. 이 때, 좌변의 α^(n+1)a_1을 우변으로 이항하면 이 역시 등비수열에 해당하게 되므로 최종 항의 수는 n+2개가 됩니다.
등비수열의 합을 이용해서 식을 정리해주면,
인데, n과 관련된 정보가 모두 n+2이므로 이를 n으로 바꿔도 그 내용은 같습니다. 따라서 피보나치 수열의 일반항은 아래와 같습니다.
이 때 α와 β는 위에서 구한 황금비의 값입니다.