기체 분자 운동론

기체 분자 운동론 

Kinetic Molecular Theory

 이상기체 방정식은 기존에 실험적으로 알려진 결과들을 통해 유도된 공식입니다. 즉, 거시적인 현상을 통해 얻어낸 결과란 거죠. 그렇기 때문에 미시적인 현상, 즉 기체 분자 개개의 움직임에 대해서는 알아낼 수가 없습니다. 그래서 기체 분자의 운동을 설명하기 위한 가설을 만들게 되었는데, 그것이 기체 분자 운동론입니다. 

0. 기체 분자 운동론에서 적용되는 가정

 

 기체 분자 운동론에서는 다음과 같은 가정을 기본으로 하고 있습니다.

1. 기체 분자의 질량은 존재하나 부피는 0이다.

2. 기체 분자는 서로 힘을 주고받지 않는다.

3. 기체 분자는 모든 경우에서 탄성 충돌을 하며, 에너지 손실이 발생하지 않는다.

4. 기체 분자는 특정한 선호 없이 무작위적으로 움직인다. 

5. 기체 분자 평균 분자 운동 에너지는 절대 온도에만 비례한다.

1. 기체 분자 하나의 압력 구하기

 

 벽의 면적이 A, 길이가 l인 상자가 있고, 그 안에 질량이 m인 기체 입자가 하나 있다고 가정하고 유도를 시작합니다. 위의 4번 가정에 의해, 기체 분자는 특별한 규칙 없이 모든 방향으로 무작위적으로 운동합니다. 기체 분자의 속도를 v라 하면, v는 각 축의 속력을 고려하여 피타고라스의 정의를 이용해 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

  먼저 모든 축을 동시에 고려하는 것은 어려우므로, x축 하나만 고려하기로 합시다. 그럴 경우, x축의 속도는 아래와 같이 간단하게 나타낼 수 있습니다.

 

 기체 분자는 공간 내를 이동하다가 벽면에 부딪히게 되는데, 이 때 탄성 충돌을 하므로 충돌 전후 입자의 운동량 변화(Δp)는 아래와 같습니다. 충돌 전후의 운동량은 방향만 반대고, 그 크기에는 변화가 없습니다. 방향이 반대라는 것을 표시해주기 위해 한 쪽의 값에 마이너스 부호를 취해줍니다. 

 운동량의 변화량은 충격량이고, 충격량은 또 충격력(F)과 시간의 변화량(Δt)의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 압력을 구하기 위해서는 힘에 대한 정보를 알아야 하므로, Δt을 구해봅시다. 

 시간은 이동거리를 속력으로 나눠서 구할 수 있습니다. 여기서 같은 면과 다시 충돌하기 위해서는 길이 l만큼을 왕복해야 하므로, Δt는 아래와 같이 구할 수 있습니다.

 이제 지금까지 얻은 정보를 통해 기체 입자 하나가 벽면에 가한 힘을 구해봅시다. 

 압력은 단위 면적당 가해지는 힘입니다. 상자의 넓이는 주어졌으므로, 기체 입자 하나의 압력을 구할 수 있습니다. 

(V는 부피이다.)

2. 입자와 축의 개수 확장하기

 이제 기체 분자 하나의 압력을 구했으니, 입자와 축의 개수를 확장시켜봅시다. 먼저 입자의 개수부터 확장시켜봅시다. 

 기체 분자가 N개가 있다고 하고, 기체 전체의 압력을 구해봅시다. 이때, 분자 각각은 속력이 다릅니다. 따라서 일괄적으로 표현할 때, 평균적인 값을 구해서 이용해줘야 합니다. 

(마지막의 v 위에 있는 선은 평균을 의미하고, '바'라고 읽는다.)

 이제 모든 축으로 확장을 시켜봅시다. 그렇기 위해서는 x축 방향의 속력이 전체 속도에서 어느 정도 기여하는지 알아야 합니다. 

 위의 4번 조건에서 알 수 있듯이, 기체 분자는 특정 선호 없이 무작위적으로 움직입니다. 따라서 특별한 편중 없이 세 개의 축이 모두 똑같이 기여한다고 볼 수 있습니다. 따라서 x축 방향의 기여도는 1/3입니다. 

 이제 x축 방향의 속력과 전체 속도 사이의 관계를 알았으니, 기체 분자 N개의 압력을 속도(의 평균치)를 이용해서 표현할 수 있습니다. 

 이제 거의 다 왔습니다. 양변에 부피만 곱해주면 이상기체 방정식에서 볼 수 있듯이 좌변에 PV가 있는 형태가 됩니다. 하지만 여기서 조금만 더 정리하면 결과가 더 간결해집니다. 기체의 몰질량 M과 몰수 n, 질량 m, 개수 N은 아보가드로 수(NA)를 징검다리로 하여 아래와 같이 연관이 되어 있습니다.

 이를 바탕으로 하여 식을 정리해줍시다.

 이제 기체 분자 하나의 운동을 확장시켜서 기체 분자 N개의 운동을 설명하는 식을 얻어냈습니다. 이 결과 또한 기체에 대한 것이므로, 이 식이 실험으로 얻어낸 이상기체 방정식 역시 만족시켜야 합니다.  따라서 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 이제 양변을 정리해서 v값을 구해줄 수 있습니다. 아래의 결과를 통해 기체의 평균 제곱 속력이 절대 온도에 비례하고, 몰질량에 반비례한다는 것을 알 수 있습니다. 

 위에서 구한 값은 근 평균 제곱 속력으로, 평균 제곱 속력에 루트를 취해준 것입니다. 이제 속도를 구했으니 운동 에너지를 구할 수 있습니다. 

3. 기체 1몰의 평균 운동 에너지

 역학적 에너지는 포텐셜 에너지와 운동 에너지의 합으로 표현될 수 있습니다. 하지만 위에서 2번에 가정했듯이, 기체 분자들은 서로 상호작용하지 않습니다. 따라서 포텐셜 에너지를 0이라고 간주하여, 전체 에너지가 운동 에너지와 같다고 할 수 있습니다. 

 기체 분자는 각각 다양한 속력을 가지므로, 평균값을 이용해서 평균 운동 에너지를 구해주어야 합니다. 이 때, 기체 1몰에 대한 평균 운동 에너지를 구해봅시다. 

 이제 위에 구해준 결과에 평균 제곱 속력을 대입해주면,

  이 결과를 통해 기체 분자의 평균 운동 에너지가 절대 온도에만 비례한다는 5번 가정이 참이라는 것을 알 수 있습니다. 

 1몰의 평균 운동 에너지를 구했으니, 이 값을 아보가드로 수로 나눠주면 기체 분자 하나의 평균 운동 에너지를 구할 수 있습니다.

 

 여기서 kB는 볼츠만 상수로, 입자 수준의 에너지와 거시 수준의 온도를 연결시켜주는 상수입니다. 그 값은 위에 나와있습니다.

4. 기체 분자 운동론과 기체법칙

 이제 기체 분자 운동론을 통해서 기체법칙을 설명할 수 있게 됩니다. 

 온도가 일정할 때, 기체의 운동 에너지는 절대온도에만 비례하므로 일정합니다. 그런데 부피가 반으로 감소하면 단위 부피당 충돌하는 입자의 수는 2배로 증가합니다. 따라서 단위 면적당의 힘이 증가하므로 압력이 증가합니다.

 온도가 증가할 때, 기체의 운동 에너지는 증가합니다. 기체의 운동 속도가 증가하므로 하나의 입자가 단위 시간당 충돌하는 횟수가 증가합니다. 따라서 벽면에 가해지는 힘이 증가하고, 압력이 증가합니다. 내부 압력이 증가하므로 기체는 외부와 압력이 같아질 때까지 부피가 팽창합니다.

 분자량에 따른 기체 분자의 속력 차이 또한 설명할 수 있습니다. 위에서 구했듯, 근 평균 제곱 속력은 몰질량이 증가하면 그 값이 감소합니다. 따라서 기체의 분자량이 작을수록 평균 운동 속력이 커지게 됩니다.

 

■ 사진 출처

 분자량에 따른 분자 운동 속력: http://study.zum.com/book/14325

이번 글도 읽어주셔서 감사합니다.

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