고체의 결정 구조 (2) :: 육방 정계와 최조밀 쌓음 구조

고체의 결정 구조 (2) :: 육방 정계와 최조밀 쌓음 구조

Crystal Structure of solids (2) ::  Hexagonal System and Close-Packed System

■ 육방 정계 (Hexagonal System)

 육방 정계(혹은 육방 구조)는 다양한 결정 중에서 입방 정계와 더불어 고등학교에서 다루는 유이한 결정 구조입니다. 육방 정계는 기존의 사각 기둥 모양의 입방 정계와는 달리 육각 기둥 모양을 가지고 있습니다. 

[ 그림 1 ]

육방 정계의 도식도

 육방 구조는 a와 b의 길이는 같으나 c는 다르고, α와 β는 90도로 같지만 γ는 120도로 다른 결정계입니다. 

 기본적으로 육방 구조는 위의 그림에서 진하게 나타나는 부분이 단위 세포입니다. 하지만 단위 세포를 세 개 이어 붙이게 되면 위와 같이 육각 기둥 형태가 되고, 육각 기둥 형태로 분석할 때 다양한 정보들을 알기 쉽기 때문에 육각 기둥을 단위 세포처럼 취급하기도 합니다. 이 글에서는 육각 기둥을 단위 세포로 취급하겠습니다.

 육방 구조는 육각 기둥의 꼭짓점에 12개의 입자가, 육각 기둥의 면의 중심에 2개의 입자가, (그림에는 보이지 않지만) 기둥 내부에 3개의 입자가 존재합니다. 꼭짓점의 입자는 수평면으로 1번, 육각형 모서리를 따라 2번 잘려서 입자의 1/6만이 남게 됩니다. 

[ 그림 2 ]

꼭짓점의 입자의 차지비율

 {육각형 모서리를 따라 2번 잘리면 120도, 즉 1/3만 남게 되며, 여기서 면을 따라 수평면으로 잘리면 1/2이 날라가 1/6이 된다.}

 

 면의 중심에 위치하는 입자는 수평면으로 1번만 잘리기 때문에 1/2가 남으며, 내부의 입자는 잘리지 않기 때문에 온전히 하나가 남습니다. 따라서 총 입자 수는 12*(1/6)+2*(1/2)+3*1=6으로, 6개가 됩니다. 

 

[ 그림 3 ]

a와 r의 관계

 그러면 밑변 a와 입자의 반지름 r, 높이 c 사이의 관계를 통해 입자의 채움률을 구해봅시다. 먼저 위의 그림에서 볼 수 있듯이 a는 입자의 지름과 같습니다. 따라서 아래와 같은 식이 성립합니다.

 

 

[ 그림 4 ]

c와 h의 관계

 위 그림은 육각 기둥의 한 면을 잘라서 나타낸 모습입니다. 각 원의 중심에 점을 잡고 그 점들을 이어서 정사면체를 만든다고 합시다. 그러면 정사면체는 위의 그림에서 삼각형과 같이 나타나게 됩니다. 이렇게 하면 높이 c는 정사면체의 높이 h의 두 배가 됩니다. 정사면체의 높이는 한 변의 길이를 n이라 했을 때 (√6/3)*n입니다. 이번 경우에서 만들어지는 정사면체의 한 변의 길이는 a, 혹은 2r이므로, c의 값을 구해주면 아래와 같습니다.

 이제 밑변의 길이와 높이, 반지름 사이의 관계를 구했으니 채움률을 구해봅시다. 먼저, 육각 기둥의 부피를 구하기 위해서는 육각형의 넓이를 구해야 합니다. 이 경우, 육각형은 정육각형이고 한 변의 길이가 a인 정육각형의 넓이를 S라 하면 S는 아래와 같습니다. 

 

 따라서 부피는 위의 값에 높이 c를 구해주면 됩니다.

 단위 세포 내 총 입자의 수는 위에서 구했듯 6개이므로, 입자가 차지하는 부피를 구할 수 있습니다.

 채움률은 세포의 부피에 대한 입자의 비율이므로, 

 따라서 육방 구조의 채움률은 약 74%입니다. 그런데 이 값은 면심 입방 구조와 같습니다. 74%는 입자가 가장 촘촘하게 배열되었을 때의 채움률로, 면심 입방 구조와 육방 구조만이 이 값을 가집니다. 육방 구조가 면심 입방 구조와 더불어 가장 촘촘한 구조기 때문에 배위수 또한 면심 입방 구조와 같은 12입니다. 

■ 최조밀 쌓음 구조 (Close-Packed System)

 고체는 다른 상태와는 달리 입자들이 매우 가까운 위치에 있습니다. 고체를 단단한 입자들이 맞닿은 상태라고 생각할 때, 가장 조밀한 구조를 쌓을 수 있는 방법에 대해 생각해 봅시다.

[ 그림 5 ]

쌓는 방법에 따른 조밀도

 먼저 같은 크기의 입자들을 같은 층에 쌓는다고 가정합시다. 그러면 왼쪽보다는 오른쪽과 같이 최대한 많은 입자들이 맞닿은 상태가 더 조밀하다고 할 수 있습니다. 따라서 조밀한 구조를 쌓기 위해서는 왼쪽이 아니라 오른쪽과 같이 쌓아야 한다는 사실을 우선 알 수 있습니다. 이 때 첫번째로 배치한 층을 A층이라고 하겠습니다.

 이제 결정 구조를 만들어야 하므로 입체적으로 쌓아갑시다. 위에서 말했듯 조밀한 구조를 쌓기 위해서는 최대한 많은 입자들이 맞닿아야 합니다. 그래서 위로 쌓아나갈 때도 오른쪽과 같이 세 입자가 만드는 약간 오목한 구멍 부위 위에 입자를 쌓아나가기로 합시다.

 그런데 오른쪽과 같이 서로 엇갈리게 쌓은 입자 층을 하나 더 가지고 와서 2층에 쌓으면 문제가 하나 생깁니다. 오른쪽과 같이 쌓을 때, 입자 하나 주위에는 총 6개의 구멍이 발생합니다. (구멍의 위치와 개수는 위에서 봤을 때를 기준으로 합니다.) 그런데 구멍 하나 위에 입자를 올려버리면 아래와 같이 입자를 놓을 수 없는 구멍이 생깁니다.

[ 그림 6 ]

더 이상 입자를 놓을 수 없는 구멍

 보면 알 수 있듯이, 하나의 구멍에 입자를 올려놓으니 두 개의 구멍 위에는 입자를 올릴 수 없게 되었습니다. 그 위에 입자를 올리게 되면 이미 올려 놓은 입자와 겹치게 되기 때문입니다. 따라서 3개의 가리지 못하고 그냥 비워두게 됩니다. 이 때 A층 위에 올린 층을 B층이라고 하겠습니다.

[ 그림 7 ]

가려지지 않는 구멍

 이제 이 상황에서 선택지가 나뉩니다. 위의 그림에서 노란색으로 표시된 아직 가려지지 않은 구멍을 가리게 새로운 층을 쌓을 수도 있습니다. 아니면 그냥 노란색 구멍에 상관 없이 A층과 똑같이 쌓을 수 있습니다. (B층 위에 A층을 그대로 올려서 쌓는 선택지) 

[ 그림 8 ]

A층과 B층이 반복되는 배열

 위의 그림은 A층을 똑같이 B층 위에 그대로 쌓은 구조입니다. 그래서 노란색으로 표시되었던 구멍이 아직도 보입니다. 이렇게 A층-B층-A층-B층...과 같이 A층과 B층을 계속해서 번갈아가면서 쌓으면 육방 구조가 됩니다. (B층 위에 쌓은 A층은 겹쳐서 구분되지 않습니다.)

[ 그림 9 ]

육방 구조의 최조밀 쌓음 구조 (Hexagonal Close-Packed, hcp)

 ABABAB..형태로 반복해서 쌓은 것을 측면에서 보면 위 그림의 왼쪽과 같습니다. 직사각형 내부를 보면 위에도 나왔던 육각 기둥의 면과 똑같은 배열임을 알 수 있습니다. 또 위 그림의 오른쪽은 ABABAB..와 같이 쌓았을 때 육방 구조의 세포로 나뉘는 단위를 위에서 나타낸 것입니다. 온전히 내부에 있는 3개의 입자가 뚜렷하게 확인됩니다.

[ 그림 10 ] 

A층과 B층, C층이 반복되는 배열

 만약 가려지지 않았던 나머지 3개 구멍을 완전히 막는 형태로 새로운 C층을 쌓게 되면 위와 같은 구조가 만들어집니다. 이 구조는 면심 입방 구조와 같습니다. 면심 입방 구조는 육방 구조와는 달리 쉽게 눈에 띠지 않을 겁니다. 그러면 보이는 입자를 정리하고 보조선을 그어보겠습니다.

[ 그림 11 ]

면심 입방 구조의 최조밀 쌓음 구조 (Cubic Close-Packed, ccp)

 왼쪽은 면심 입방 구조를 이루는 데 필요한 입자들만 층을 나누어 나타낸 것입니다. 3개의 층이 A층 B층 C층 A층 ..과 같이 ABCABC...로 반복되는 구조임을 알 수 있습니다. 입자들을 이용해 구조를 만든 뒤에 보조선을 그은 것이 오른쪽입니다. 입자들이 겹쳐져 있어서 쉽게 보이지는 않지만 면심 입방 구조임을 [ 그림 10 ] 보다는 더 확실히 알 수 있습니다.

 그러면 지금까지 최조밀 쌓음 구조에 대해서 알아보았습니다. 면심 입방 구조와 육방 구조가 같은 채움률과 배위수를 가지는 이유는 두 구조 모두 조밀하게 쌓는 원리로 만들어낸 최조밀 쌓음 구조이고, 다른 것은 몇 개의 층을 반복할 것이냐이기 때문입니다. 

여기까지 육방 구조와 최조밀 쌓음 구조에 대해서 알아보았습니다.

다음 게시물에서 틈새 자리에 대해서 알아보고, 고체의 결정 구조에 관한 글을 마무리 하겠습니다.

읽어주셔서 감사합니다! 도움이 되셨다면 좋겠습니다.

■ 사진 출처: 

[ 그림 1 ] : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Hexagonal_latticeFRONT.svg/160px-Hexagonal_latticeFRONT.svg.png

[ 그림 2 - 11 ] : 자체 제작