고체의 결정 구조 (1) :: 입방 정계

고체의 결정 구조 (1) :: 입방 정계

Crystal Structure of solids (1) :: Cubic System

 고체는 입자들이 매우 가까운 거리에 있어, 일정한 모양과 부피를 갖는 상태를 의미합니다. 고체 상태에서 입자들은 서로 가까이 있기 때문에 특별한 운동을 하지 않고, 오직 제자리에서 진동 운동만 합니다. 따라서 고체는 운동에 관심을 기울였던 기체와는 달리, 어떻게 배열되어 있느냐를 더 주목합니다. 이번에는 화학2에서 다루는 내용인 입방 정계와 육방 정계, 그 중에서도 입방 정계에 대한 내용을 중점으로 다루겠습니다.

* 기본 용어 설명

 - 결정 격자(Crystal Lattice): 구성 입자가 일정 규칙에 의해 반복되며 만들어지는 3차원 배열

 - 단위 세포/격자(Unit Cell): 3차원에서 반복되는 패턴의 기본 단위

입방 정계 (Cubic System)

입방 정계는 단위 세포를 이루는 세 모서리의 길이가 모두 같으며, 동시에 모서리 사이의 각도가 모두 90도인 결정계입니다. 가장 기본적인 결정 구조라고 할 수 있습니다. 입방 정계는 세부적으로 단순 입방 구조와 체심 입방 구조, 면심 입방 구조로 나뉩니다.

<왼쪽부터 차례대로 단순 입방, 체심 입방, 면심 입방이다.>

 체심 입방 구조는 단순 입방 구조에 더해 단위 세포의 중심에도 입자가 배열된 구조를 말합니다. 면심 입방 구조는 단순 입방 구조에 더해 각 면의 중심마다 입자가 배열된 구조를 말합니다. 

 격자의 종류에는 입방 정계 외에도 여러 종류가 존재합니다. 다음에 다룰 육방 정계도 그 종류 중 하나인데요, 격자의 종류에 따라 체심과 면심이 존재할 수도 있고 그렇지 않을 수 있습니다. 입방 구조의 경우 체심과 면심 모두 존재하나 육각 구조의 경우 기본 형태의 것만 존재합니다. 

 먼저 단순 입방 구조부터 차근차근 알아가봅시다.

입방 정계 :: 단순 입방 구조 (Simple Cubic System, SC)

 단순 입방 구조는 꼭지점에 입자가 한 개씩 위치하고 있습니다. 단순 입방 구조를 단위 세포 형태로 자르게 되면 x, y, z축 방향으로 한번 씩 잘리게 되므로, 한 귀퉁이에는 1/8만이 단위 세포 안에 들어가게 됩니다. 꼭짓점의 수는 8개이므로, 하나의 단위 세포 안에는 결론적으로 1개의 입자가 존재하게 됩니다.

 

 단순 입방 구조의 단위 세포를 무한히 확장 시켜 봅시다. 그러면 하나의 입자가 앞뒤, 상하좌우로 총 6개 있다는 것을 알 수 있습니다. 하나의 입자와 근접한 같은 거리의 입자 수를 배위수라고 합니다. 배위수는 교과서나 학습서에서 '가까이 인접한 입자의 수'와 같이 풀어서 표현하기도 합니다.

 

 이온 결합으로 만들어진 구조들에서는 배위수와 구멍의 수가 큰 관련이 있습니다. 이는 다음에 '구멍'에 대해 설명할 때 자세히 알아보겠습니다.

 단위 세포 내에 입자가 얼마나 차지하는지를 의미하는 것이 채움률입니다. 채움률을 구하기 위해서는 단위세포의 한 변의 길이 a와 입자의 반지름 r 사이의 관계를 알아야 합니다. 단순 입방 구조의 경우 입자들이 서로 붙어있으므로 계산이 간편합니다. 

 a와 r은 a=2r이라는 관계를 가지고 있습니다. 채움률은 '입자의 부피/단위 세포의 부피'이므로 각각의 부피를 구해주면 채움률을 구할 수 있습니다.

 

 

 따라서 채움률은 약 52%입니다. 또한, 실제 단순 입방 구조의 구조를 가지는 원소는 오직 폴로늄 뿐입니다. 

* 단순 입방 구조 정리

단위 세포 내의 입자 개수: 1개

배위수: 6

채움률: 52%

a와 r의 관계: a=2r

실제에서의 예시: 폴로늄

입방 정계 :: 체심 입방 구조 (Body-Centered Cubic System, BCC)

 체심 입방 구조는 꼭짓점과 중심에 입자가 한 개씩 위치하고 있습니다. 체심 입방 구조를 역시나 단위 세포에 맞게 자르게 되면, 꼭짓점은 단순 입방 구조와 같이 1/8로 잘리게 되지만 중심의 입자는 온전히 남습니다. 따라서 단위 세포 내의 입자 개수는 (1/8)*8+1=2개가 됩니다.

 

 이번에는 배위수를 조금 간편하게 구할 수 있습니다. 중심에 있는 입자를 기준으로 8개의 입자가 인접해 있으므로, 배위수는 8입니다. 

 채움률을 구하기 위해서는 a와 r 사이의 관계를 구해야합니다. 하지만 체심 입방 구조의 경우 입자가 연속적으로 단위 세포 면을 따라 붙어있지 않습니다. 따라서 한번에 a와 r의 관계를 구할 수 없습니다. 그래서 조금 다른 방법으로 관계를 구해야하는데, 아래와 같이 대각선 면으로 자르면 됩니다. 

 위와 같이 자르게 되면, 대각선 방향으로는 입자가 모두 붙어 있으므로 r을 이용해서 길이를 표현 할 수 있습니다. 또 직각삼각형을 이루게 되므로 피타고라스의 정리에 의해 그 길이를 a로도 표현할 수 있습니다. 

 위에서 √3a=4r이라는 관계를 구했으니, 채움률을 구해봅시다. 

 따라서 체심 입방 구조의 채움률은 약 68%입니다. 또한, 체심 입방 구조를 갖는 원소로는 리튬, 나트륨, 칼륨(알칼리 금속)이 있습니다.

*  체심 입방 구조 정리

단위 세포 내의 입자 개수: 2개

배위수: 8

채움률: 68%

a와 r의 관계: √3a=4r

실제에서의 예시: 리튬, 나트륨, 칼륨(알칼리 금속)

입방 정계 :: 면심 입방 구조 (Face-Centered Cubic System, FCC)

 면심 입방 구조는 꼭짓점과 면들의 중심에 입자가 위치하는 구조입니다. 꼭짓점의 입자들은 단순 입방 구조와 마찬가지로 1/8로 잘려나갑니다. 면의 중심에 위치하는 입자들은 한 번만 잘리므로 1/2이 남게 됩니다. 따라서 단위 세포 내에 존재하는 입자의 수는 (1/8)*8+(1/2)*6=4개입니다. 

 배위수는 12개인데, 단위 세포 하나만 보아서는 잘 이해가 가지 않을 겁니다. 무한히 확장해보라고 해도, 구조가 좀 복잡하기 때문에 그것도 어렵습니다. 그래서 조금 더 확장된 그림을 가져왔습니다.

 위의 그림은 염화 나트륨, 즉 소금의 결정 구조를 나타낸 그림입니다. 나트륨 이온과 염소 이온은 모두 각각 면심 입방 구조로 배열되어 있습니다. 

 가장 정중앙에 위치하는 나트륨 이온에 주목해주세요. 맨 아래층부터 차례대로 1층, 2층, 3층이라고 하면, 중앙의 나트륨 이온은 2층에 위치되어 있습니다. 중앙의 나트륨 이온이 가까이 위치하는 같은 나트륨 이온은 2층 꼭짓점의 네 개의 입자입니다. 나트륨 이온과 염소 이온 사이의 거리를 1이라고 하면, 나트륨 이온들 사이의 거리는 √2인 것을 알 수 있습니다. 그런데 떨어진 거리가 √2인 나트륨 이온이 2층의 네 입자로 끝이 아닙니다. 1층과 3층에도 4개씩 있습니다. 따라서 면심 입방 구조에서의 배위수는 12라고 할 수 있습니다.

 다음에는 역시나 a와 r 사이의 관계를 구해야 합니다. 면심 입방 구조 역시나 입자가 단위 세포 면을 따라 연속되어 있지 않습니다. 하지만 대각선 면을 따라서는 붙어 있기 때문에, 이를 이용해서 관계를 구할 수 있습니다. 체심 입방처럼 입체면을 따라 잘라서 볼 필요는 없습니다. 

 따라서 a와 r의 관계가 a=2√2r임을 알 수 있습니다. 이제 이를 바탕으로 채움률을 구해봅시다.

 따라서 채움률은 약 74%이며, 최조밀 구조입니다. 최조밀 구조라는 뜻은 같은 입자를 사용해 어떻게 배열하여도 이보다 더 조밀하게 배치할 수 없다는 뜻입니다. 면심 입방 구조와 함께 최조밀 구조를 가지는 육방 구조가 있는데, 왜 같은 채움률을 가지는지는 다음 게시물에서 알아보겠습니다.

이번에도 읽어주셔서 감사합니다.

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